Luku 5

Besselin elementit

Tähän asti olemme tutkineet pimennysten tapahtumista laskemalla taivaankappaleiden välisiä kulmia maapallon keskipisteestä katsottuna. Mutta kukaan ei asu maapallon keskipisteessä. Seuraavaksi on yritettävä laskea, miten valonsäteet leikkaavat maapallon pinnan.

Aloitetaan vaikkapa miettimällä, missä auringonpimennys on täydellisimmillään jollakin ajanhetkellä, siis missä Kuun täysvarjon akseli leikkaa maapallon pinnan. Käytössämme olevilla työkaluilla pystymme kyllä määrittämään varjon akselin: se on Auringon ja Kuun keskipisteidenEipäs olekaan keskipisteiden välinen. Aikanaan opimme murehtimaan siitä, ettei Kuun jokseenkin pallomainen muoto ympäröikään aivan täsmälleen sen massakeskipistettä. välinen suora.

Tutkitaan, miltä tilanne näyttäisi avaruudesta.

Kuva 5.1:

Tilanne 2027-08-02 klo 10:05 UTC, jolloin varjon akseli leikkaa maapallon pinnan pisteessä 25.6° N, 32.7° E, Egyptissä. Kuun etäisyys ja koko sekä varjon koko Maan pinnalla ovat liioiteltuja, kaikki muu on laskettu tarkasti.

Avaruudessa olevan suoran ja ellipsoidin pinnan leikkauspiste pystytään laskemaan. Kun varjon akselin suunta (kuvan katkoviiva) tunnetaan, tälle leikkauspisteelle voidaan määrittää maantieteelliset koordinaatit. Toistamalla ison pinon tällaisia laskuja, voisimme piirtää useita pisteitä ajan funktiona ja pimennyksen keskilinjan kartalle.

Suorat laskelmat akselin vektorista maantieteellisiksi koordinaateiksi johtavat kuitenkin aika monimutkaisiin lausekkeisiin, ja menetelmästä tulee turhan epämääräinen, varsinkin kun huomioidaan, millaisille lisälaskelmille meillä tulee pian olemaan tarvetta. Täytyy siis yrittää jotenkin geometrisesti yksinkertaistaa käsillä olevaa ongelmaa.

5.1 Fundamentaalitaso

Tämän menetelmän on 1824 esitellyt matemaatikko ja Königsbergin observatorion johtaja Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846). Siinä varjoa ei seurata pyörivän ja litistyneen maapallon pinnalla, vaan se viedään tasolle, joka on kiinnitetty Maan keskipisteeseen ja kääntyy aina kohtisuoraan varjon akselia vastaan. Tällä tasolla varjo on ympyrä, ja kaikki sitä kuvaavat suureet muuttuvat hitaasti ja melko tasaisesti. Metrien tai kilometrien sijaan voidaan laskea näppärämmin valituilla pituusyksiköillä.

Nyt pimennyksen yksityiskohtien laskeminen tapahtuu karkeasti niin, että ensin laaditaan kokoelma pimennyksen kulkua tällä fundamentaalitasolla kuvaavia Besselin elementtejä, havaitsijan koordinaatit muunnetaan tähän koordinaatistoon, laaditaan tarvittavat yhtälöt ja ehdot pimennyksen eri vaiheille, ja näiden perusteella ratkaistut paikalliset kohdat ja käyrät projisoidaan takaisin maantieteelliseen koordinaatistoon.

Kuva 5.2:

Besselin fundamentaalitaso on kiinnitetty Maan keskipisteeseen ja kääntyy aina olemaan kohtisuorassa Kuun varjon akseliin nähden. Huomaa, että tähän kuvaan maapallolle piirretyt koordinaattiviivat eivät vastaa todellisia maantieteellisiä leveys- ja pituuspiirejä. Maapallo voi olla missä tahansa asennossa.

5.2 Varjoa kuvaavat elementit

Varjojen keskipisteiden paikkaa kuvaavat elementit $x$ ja $y$ , ja niiden säteitä $l_{1}$ ja $l_{2}$ . Varjokartioiden kulmat varjon akseliin nähden ovat $f_{1}$ ja $f_{2}$ . Suureiden merkit valitaan niin, että $l_{1}$ , $f_{1}$ ja $f_{2}$ ovat aina positiivisia. $l_{2}$ on täydelliselle pimennykselle negatiivinen, rengasmaiselle positiivinen. Negatiivinen etumerkki tarkoittaa, että täysvarjon kartion kärki on fundamentaalitason takana.

Kuva 5.3:

Varjoja kuvaavat Besselin elementit. Maapallon keskipiste on origossa ja säde 1. Varjojen keskipisteet ovat $(x, y)$ . Puolivarjon säde on $l_{1}$ , täysvarjon $l_{2}$ . Varjokartioiden kulmat ovat $f_{1}$ ja $f_{2}$ .

5.3 Maapallon asennon elementit

Jotta laskelmiemme tulokset voitaisiin ilmaista maantieteellisissä koordinaateissa, tarvitsemme yllä määriteltyjen varjon paikkaa ja kokoa kuvaavien elementtien lisäksi kaksi elementtiä $μ$ ja $d$ kuvaamaan maapallon asentoa systeemissä. Nämä elementit kertovat, mihin systeemin z-akseli osoittaa taivaanpallolla, tai hieman yksinkertaistaen, missä maantieteellisissä koordinaateissa z-akseli leikkaa maapallon pinnan. Tämä yksinkertaistus pätisi vain litistymättömällä eli pallon muotoisella maapallolla.

Akselin deklinaatio $d$ vaihtelee kummankin puolen nollaa vuodenaikojen mukana. Deklinaatio on lähes sama kuin Auringon geosentrinen deklinaatio, mutta ei täsmälleen, koska Aurinko ei sijaitse systeemissä aivan z-akselilla. Kevät- ja syyspäiväntasausten lähellä $d \approx 0$ .

Koska elementit on sidottu nimenomaan maapallon asentoon, käytetään rektaskension sijasta akselin suunnan tuntikulmaa $μ$ Greenwichin taivaalla, eli $μ = 0$ , kun maapallon keskimeridiaani osoittaa z-akselin suuntaan.

Kuva 5.4:

Maan asentoa kuvaavat Besselin elementit $μ$ ja $d$ . Tässä elementit on esitetty pallomaiseksi oletetun Maan pinnalla. Todellisuudessa Maa on litistynyt, ja nämä elementit tulisi esittää suuntana taivaanpallolla eli tähtikartalla. Tasoa ja maapalloa voi kääntää erikseen.

5.4 Elementtien laskeminen

Useissa vanhemmissa lähteissä Besselin elementtien määrittäminen näyttää työläämmältä kuin se nykyään on. Kun lähtötietona oli painettu almanakka, Kuun etäisyyttä ei saanut mistään suoraan, vaan se piti kaivaa horisontaaliparallaksista, ja suureet skaalattiin sellaisiin yksiköihin, että käsin laskeminen pysyi siedettävänä. Efemeridi laadittiin tunnin välein ja tihennettiin pimennyksen lähellä puoleen tuntiin ja lopulta minuuttiin ja alle.

Modernia laskentaa, kuten Skyfieldiä, käytettäessä mikään näistä ei ole tarpeen. Auringon ja Kuun paikat saa kirjastosta vektoreina suorakulmaisessa koordinaatistossa millä tahansa ajanhetkellä, eikä parallakseja tarvitse sotkea mukaan lainkaan. Derivaatatkin saadaan helposti numeerisesti.

Explanatory Supplementin luku 11.3 johtaa elementeille lausekkeet osittain tämän historiallisen painolastin kanssa ja muutenkin jokseenkin hankalasti seurattavassa muodossa. Alla on yritetty toisenlaista lähestymistapaa vektoripohjaisena ilman ylimääräistä pallogeometriaa ja rotaatioita.

Aloitetaan parilla määritelmällä, jonka jälkeen saamme niistä elementeillemme lausekkeet.

Määritellään geosentrinen ekvatoriaalinen koordinaatisto niin, että origo on Maan keskipisteessä ja yksikkövektori $\hat{z}$ osoittaa kohti pohjoisnapaa. Vektorit $\hat{x}$ ja $\hat{y}$ ovat päiväntasaajan tasossa niin, että $\hat{x}$ osoittaa kevätpäiväntasauksen suuntaan. Seuraavaan projektioon tarvitaan ainoastaan $\hat{z}$ .

Kuva 5.5:

Geosentrinen ekvatoriaalinen koordinaatisto. $\hat{z}$ osoittaa pohjoisnapaan. $\hat{x}$ ja $\hat{y}$ ovat päiväntasaajan tasossa ja kiertävät kevätpäiväntasauksen suunnan mukana, mutta niiden asennolla ei ole meille merkitystä. Katkoviivalla piirretty taso on Besselin fundamentaalitaso, jolle koordinaatisto seuraavaksi muunnetaan.

Kuvan 5.5 ekvatoriaalisesta koordinaatistosta on painettava mieleen, että se ei seuraa maapallon pyörimistä, vaan on lukittuPrekession vaikutus siirtää myös tätä koordinaatistoa tähtitaivaan suhteen, mutta tämän ilmiön aikaskaala lasketaan kymmenissä tuhansissa vuosissa. Myös lyhyemmillä aikaväleillä tulee kuitenkin äkkiä tärkeäksi laskea efemeridit havaintohetken eikä esimerkiksi vuoden 2000 epookilla. tähtitaivaaseen. Koska Besselin elementtien käyttäminen tähtää ilmiöiden laskemiseen juuri maapallon pinnalla, joudumme hieman myöhemmin käyttämään rektaskension sijasta tuntikulmia.

Olkoon Kuun ja Auringon paikat geosentrisessä koordinaatistossa $M$ ja $S$ . Kuusta Aurinkoon osoittava vektori on $G = S - M$ , joten varjon akselin suuntaisen Besselin koordinaatiston z-akselin määrää yksikkövektori

\hat{k} = \frac{G}{∣ G ∣} = \frac{S - M}{∣ S - M ∣} .

Fundamentaalitason yksikkövektorit ovat nyt, itään ja pohjoiseenPohjoisnapavektorin $\hat{z}$ tehtävä on lähinnä kiinnittää Besselin fundamentaalitason suunnat niin, että “ylöspäin” eli y-akselin suunta on määritelty pohjoisen puolelle. Jos olisi $\hat{z} = \hat{k}$ , eli jos Kuun varjon akseli osoittaisi suoraan pohjoisnavalle Maan akselin suuntaisesti, näiden ristitulo olisi nolla eikä voitaisi tietää, mihin suuntaan “ylös” on oltava. Maapallolla näin ei voi käydä, sillä akseli kallistuu vain $23. 5^{\circ}$ eikä lähellekään $9 0^{\circ}$ , mutta laskettaessa Besselin elementtejä esim. Uranukselle, jouduttaisiin miettimään joitain vaihtoehtoisia koordinaatistoja. Helpotukseksi myöskään Uranuksella ei taida olla pohjoisnavan ympäri kiertäviä kuita.

\hat{i} = \frac{z ^ \times k ^}{∣ z ^ \times k ^ ∣}, \hat{j} = \hat{k} \times \hat{i} .

Kuva 5.6:

Fundamentaalitason kannan $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ muodostaminen, kun tunnetaan varjon akseli $\hat{k}$ ja maapallon pohjoisnapa $\hat{z}$ . Huomaa, että vektorit $\hat{x}$ ja $\hat{y}$ (ei piirretty) saisivat pyöriä $\hat{z}$ :n ympäri miten päin tahansa ilman, että lopputulos $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ muuttuu.

Nyt Kuun paikka Besselin koordinaateissa saadaan yksinkertaisesti projisoimalla

x = M \cdot \hat{i}, y = M \cdot \hat{j}, z = M \cdot \hat{k}

Kuva 5.7:

Kuun ja Auringon paikkavektorit, varjon akseli ja Besselin systeemin yksikkövektorit.

Vaihtoehtoinen tapa kuvailla sama asia olisi määritellä matriisi

B = [\hat{i} \hat{j} \hat{k}],

joka ei ole muuta kuin koordinaatistosta toiseen kääntävä rotaatiomatriisi:

x y z = B^{T} M = \hat{i} \cdot M \hat{j} \cdot M \hat{k} \cdot M

Mitään muuta emme tarvitsekaan Kuun paikan (ja varjojen keskipisteen) laskemiseen, Skyfield laskee nämä vektorit sellaisenaan:

Koodi Kuun paikan laskemiseen Besselin koordinaatistossa vuoden 2027 pimennyksen hetkelle

from numpy import cross
from numpy.linalg import norm
from skyfield.api import load
from skyfield.framelib import true_equator_and_equinox_of_date as of_date

R_EARTH = 6378.1366           # km, IAU equatorial radius

ts = load.timescale()
eph = load('de440s.bsp')
earth, sun, moon = eph['earth'], eph['sun'], eph['moon']

t = ts.utc(2027, 8, 2, 10, 5, 19)
here = earth.at(t)

def apparent(body):
    """Geocentric apparent position in Earth radii, equator and equinox of date."""
    return here.observe(body).apparent().frame_xyz(of_date).km / R_EARTH

S, M = apparent(sun), apparent(moon)

k = (S - M) / norm(S - M)          # the shadow axis, towards the Sun
i = cross([0, 0, 1], k)            # where the plane cuts the equator, east positive
i /= norm(i)
j = cross(k, i)                    # completes the triad, north positive

x, y, z = M @ i, M @ j, M @ k      # the Moon in the fundamental frame
# alternative formulation of the same thing:
# B = column_stack([i, j, k])        # the fundamental basis in equatorial coordinates
# x, y, z = B.T @ M                  # the Moon in the fundamental frame
print(f'x = {x:+.5f}   y = {y:+.5f}   z = {z:.3f}')

x = +0.03896   y = +0.13730   z = 56.032

Huomaa, että x ja y ovat reilusti alle 1, eli täysvarjo osuu jonnekin maapallolle. Kuun z-koordinaatti ei ole osa Besselin elementtejä, mutta sitä tarvitaan seuraavissa laskuissa.

x, y, z:n vaihtoehtoinen laskutapa rektaskensiosta, deklinaatiosta ja etäisyydestä

Jos käytössä ei ole valmiita suorakulmaisia paikkavektoreita, vaan pelkät geosentriset rektaskensiot, deklinaatiot ja etäisyydet, elementit saadaan samoista lähtötiedoista trigonometrialla. Tässä muodossa lausekkeet esiintyvät kirjallisuudessa, joten ne kannattaa tunnistaa. Käytännössä samat laskut löytää Explanatory Supplementin luvusta 11.3.2.2, mutta esitys siellä ei ole ainakaan yhtään selkeämpi kuin tässä.

Ensin lasketaan varjon akselin suunta, kun tunnetaan Kuun ja Auringon suunnat sekä etäisyydet. Paikkavektoreiksi saadaan

S = R_{s} cos δ_{s} cos α_{s} cos δ_{s} sin α_{s} sin δ_{s}, M = R_{m} cos δ_{m} cos α_{m} cos δ_{m} sin α_{m} sin δ_{m} .

Tässä $α_{s}$ , $δ_{s}$ ja $R_{s}$ ovat Auringon geosentrinen rektaskensio, deklinaatio ja etäisyys, ja $α_{m}$ , $δ_{m}$ ja $R_{m}$ Kuun vastaavat suureet. Kulmat on laskettava havaintohetken epookilla, ja niiden on oltava näennäisiä, eli valon nopeus on otettava laskuissa huomioon. Etäisyydet ilmaistaan maapallon säteinä.

Merkitsemällä varjon akseli $G = S - M$ , sen rektaskensio ja deklinaatio ovat

a = atan2 (G_{y}, G_{x}), d = arcsin \frac{G _{z}}{∣ G ∣}

Kun $a$ ja $d$ tunnetaan, Kuun paikka fundamentaalitasossa saadaan suoraan sen omasta rektaskensiosta ja deklinaatiosta:

x y z = r cos δ_{m} sin Δ α sin δ_{m} cos d - cos δ_{m} sin d cos Δ α sin δ_{m} sin d + cos δ_{m} cos d cos Δ α

missä

Δ α = α_{m} - a, r = ∣ M ∣ = \frac{1}{sin π _{m}}

Jälkimmäinen muoto on se, jossa Kuun etäisyys vanhemmissa lähteissä annetaan: taulukoitu suure on horisontaaliparallaksi $π_{m}$ , ja etäisyys maapallon säteinä on sen sinin käänteisluku.

Lausekkeet ovat samat kolme projektiota kuin edellä. Ne saadaan sijoittamalla kantavektoreiden komponentit

\hat{i} = - sin a cos a 0, \hat{j} = - cos a sin d - sin a sin d cos d, \hat{k} = cos d cos a cos d sin a sin d

pistetuloihin $\hat{i} \cdot M$ , $\hat{j} \cdot M$ ja $\hat{k} \cdot M$ ja yhdistämällä $a$ :n ja $α_{m}$ :n sisältävät termit kaavoilla

sin Δ α cos Δ α = sin α_{m} cos a - cos α_{m} sin a = cos α_{m} cos a + sin α_{m} sin a

Kumpikin kulma esiintyy siis vain erotuksessaan, eikä rektaskension nollakohdan valinnalla ole tulokseen vaikutusta. Lopputuloksen voi tarkistaa ehdolla $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ , joka pätee, koska projektio vain kiertää koordinaatistoa.

Seuraavaksi maapallon asentoon liittyvät elementit. Kun olemme jo laskeneet varjon akselin $\hat{k} = [k_{x}, k_{y}, k_{z}]$ maapallon ekvatoriaalisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa, tämän vektorin osoittaman suunnan deklinaatio taivaanpallolla on

d = arcsin k_{z}

Kuva 5.8:

Kun ekvatoriaalisessa koordinaatistossa $\hat{z}$ osoittaa taivaannapaan, varjon akselin $\hat{k}$ deklinaatio on $d$ .

Deklinaation jälkeen tutkitaan sivusuunnassa varjon akselin rektaskensiota ja tuntikulmaa. Rektaskensio saadaan, kun varjon akseli projisoidaan ekvaattorille ja katsotaan kulmaa kevätpäiväntasauksen suuntaan eli vektoriin $\hat{x}$ nähden.

a = atan2 (k_{y}, k_{x})

Kerran vuorokaudessaSiis kerran sideriaalisessa vuorokaudessa. Greenwichin meridiaani osoittaa kevätpäiväntasauksen suuntaan, jolloin Greenwichin näennäinen tähtiaika (Greenwich Apparent Sidereal Time, GAST) on nolla astetta (tai nolla tuntia, kuten tähtiaika on tapana ilmoittaa). Muulloin GAST mitataan kulmana vastapäivään x-akselista.

Kuva 5.9:

Varjon akselin $\hat{k}$ rektaskensio taivaanpallolla on kulma $a$ . Tuntikulman $μ$ (ei kuvassa) selvittämistä varten tarvitsemme vielä Greenwichin (G) näennäisen tähtiajan (GAST).

Vihdoin varjon akselin Greenwichin tuntikulmaksi $μ$ (myös Greenwich Hour Angle, GHA) saadaan

μ = GAST - a = GAST - atan2 (k_{y}, k_{x})

Kuva 5.10:

Edellisen kuvan ekvaattoritaso pohjoisen puolelta katsottuna. Kun tiedetään tähtiaika Greenwichissä, GAST, ja varjon akselin rektaskensio $a$ , saadaan varjon akselin tuntikulma $μ$ näiden erotuksena.

Koodi elementtien d ja μ laskemiseen samalle hetkelle

# continues from the previous snippet: t and k are the ones computed there
from numpy import arcsin, arctan2, degrees

d = degrees(arcsin(k[2]))               # the axis's declination
a = degrees(arctan2(k[1], k[0]))        # and its right ascension
gast = t.gast * 15                      # sidereal time, hours to degrees
mu = (gast - a + 180) % 360 - 180       # the hour angle at Greenwich, -180..180

print(f'd  = {d:+.5f} deg')
print(f'mu = {mu:+.5f} deg')

d  = +17.76138 deg
mu = -30.24843 deg

Nyt varjokartioiden kimppuun.

Kaikki efemerideistä tulevat varjojen laskentaan alkuarvoina tarvittavat suureet on jo laskettu yllä: Auringon ja Kuun välinen etäisyys $g = ∣ S - M ∣$ , sekä Kuun kohtisuora etäisyys fundamentaalitasosta $z = \hat{k} \cdot M$ .

Vakioiksi tarvitaan vielä Auringon ja Kuun säteet moninkertoina maapallon säteestä päiväntasaajalla. Auringon säde $696000 km$ ja maapallon $6 378.1366 km$ antavat $k_{s} = 109.1228$ . Kuun säteeksi sovitaan $1 738.1 km$ eli $k = 0.2725076$ . Tähän lukuun palataan vielä myöhemmin, jolloin käy ilmi, että luvun valinnassa täytyy olla tarkkana, kun lasketaan täydellisen vaiheen kulkua.

Puolivarjon kartion kärki $V_{1}$ on Auringon ja Kuun välissä. Täysvarjon kärki $V_{2}$ on Kuun takana.

Kuva 5.11:

Varjojen kartioiden kulmat.

Kummankin kartion kärjelle $V$ pätee

∣ S V ∣ sin f ∣ M V ∣ sin f = k_{s} = k

Puolivarjolla $∣ S V ∣ + ∣ M V ∣ = g$ ja täysvarjolla $∣ S V ∣ - ∣ M V ∣ = g$ . Kirjoittamalla nämä auki, saadaan kulmien sineille kummallekin varjolle

sin f_{1} = \frac{k _{s} + k}{g}, sin f_{2} = \frac{k _{s} - k}{g}

Sama yhtälö antaa kärjen etäisyyden Kuun keskipisteestä, $∣ M V ∣ = k / sin f$ . Puolivarjon kärki on Kuusta Aurinkoon päin ja täysvarjon vastakkaiseen suuntaan.

Ainoat puuttuvat elementit ovat näiden kartioiden säteet fundamentaalitasolla. Lasketaan ensin kartioiden kärkien etäisyydet tasosta.

c_{1} = z + \frac{k}{sin f _{1}} c_{2} = z - \frac{k}{sin f _{2}}

Täysvarjon kärjen etäisyys $c_{2}$ on negatiivinen täydellisessä pimennyksessä, kun kärki on tason takana.

Kuva 5.12:

Varjojen koot fundamentaalitasolla. Koot lasketaan kärkien $c_{1}$ ja $c_{2}$ sekä kulmien $f_{1}$ ja $f_{2}$ avulla. Liikuttamalla fundamentaalitason paikkaa voit nähdä, kuinka rengasmaisella pimennyksellä $c_{2}$ kääntyy positiiviseksi.

Kartion säde kasvaa kärjestä poispäin suhteessa $tan f$ , joten varjojen säteet fundamentaalitasolla ovat

l_{1} = c_{1} tan f_{1}, l_{2} = c_{2} tan f_{2}

Nyt tiedämme kummankin varjon paikan ja koon fundamentaalitasolla. Havaitsija ei kuitenkaan yleisesti ottaen sijaitse tällä tasollaVain lähes auringonnousun/laskun aikaan., vaan yleensä jonkin verran tason yläpuolella. Tämän takia Besselin elementteihin otetaan mukaan lisäksi tieto kartioiden kulmista.

Olkoon havaitsija korkeudella $ζ$ (zeeta) tason yläpuolella. Nyt havaintopaikan läpi kulkevassa samansuuntaisessa tasossa kummankin varjon paikallinen säde saadaan

L = l - ζ tan f

Varjojen säteet $l$ fundamentaalitasolla julkaistaan itsessään elementteinä. Kun nämä säteet ovat tiedossa, on havaitsijan paikallinen säde $L$ ainoa lasku, johon kulma $f$ tarvitaan. Tästä syystä kulmien itsensä sijasta ne julkaistaankin elementeissä suoraan tangentteina $tan f_{1}$ ja $tan f_{2}$ :

tan f_{1} tan f_{2} = tan (arcsin (sin f_{1})) = tan (arcsin (sin f_{2}))

Lasketaan vielä lopuille elementeille numeroarvot edellisten esimerkkien ajanhetkellä.

Koodi varjojen säteiden ja kartiokulmien laskemiseen samalle hetkelle

# continues from the previous snippets: S, M, z and R_EARTH carry over
from numpy import sqrt

k_s = 696000 / R_EARTH             # the Sun's radius, in Earth radii
k_m = 0.2725076                    # the Moon's, adopted

g = norm(S - M)                    # the distance between the centres
sin_f1 = (k_s + k_m) / g
sin_f2 = (k_s - k_m) / g
tan_f1 = sin_f1 / sqrt(1 - sin_f1**2)
tan_f2 = sin_f2 / sqrt(1 - sin_f2**2)

l1 = (z + k_m / sin_f1) * tan_f1   # c1 tan f1
l2 = (z - k_m / sin_f2) * tan_f2   # c2 tan f2

print(f'l1 = {l1:+.5f}   l2 = {l2:+.5f}')
print(f'tan f1 = {tan_f1:.7f}   tan f2 = {tan_f2:.7f}')

l1 = +0.53062   l2 = -0.01569
tan f1 = 0.0046065   tan f2 = 0.0045835

Nyt olemme vihdoin saaneet laskettua kaikki elementit ajanhetkelle 2027-08-02 10:05:19 UTC:


$x$	+0.03896
$y$	+0.13730
$d$	+17.76138°
$μ$	−30.24843°
$l_{1}$	+0.53062
$l_{2}$	−0.01569
$tan f_{1}$	0.0046065
$tan f_{2}$	0.0045835

5.5 Elementit ajan funktiona

Nyt osaamme laskea täyden satsin elementtejä valitsemallemme ajanhetkelle. Voimme toistaa tämän laskennan koko pimennyksen yli säännöllisin väliajoin, mielivaltaisen tarkalla aika-askeleella. Seuraava taulukko vuoden 2027 pimennyspäivälle on laskettu puolen tunnin välein, mutta voisimme aivan hyvin laskea elementit joka sekunti.

aika	$x$	$y$	$d$	$μ$	$l_{1}$	$l_{2}$	$tan f_{1}$	$tan f_{2}$
08:00	−1.0988	+0.5778	17.783	−61.582	0.53054	−0.01576	0.00461	0.00458
08:30	−0.8264	+0.4725	17.778	−54.081	0.53057	−0.01574	0.00461	0.00458
09:00	−0.5540	+0.3670	17.772	−46.580	0.53059	−0.01571	0.00461	0.00458
09:30	−0.2817	+0.2616	17.767	−39.079	0.53061	−0.01570	0.00461	0.00458
10:00	−0.0093	+0.1560	17.762	−31.578	0.53062	−0.01569	0.00461	0.00458
10:30	+0.2630	+0.0504	17.757	−24.077	0.53062	−0.01568	0.00461	0.00458
11:00	+0.5354	−0.0553	17.752	−16.576	0.53062	−0.01569	0.00461	0.00458
11:30	+0.8076	−0.1610	17.747	−9.075	0.53061	−0.01570	0.00461	0.00458
12:00	+1.0799	−0.2668	17.742	−1.574	0.53060	−0.01571	0.00461	0.00458
12:30	+1.3521	−0.3726	17.737	+5.927	0.53057	−0.01573	0.00461	0.00458

Nyt voimme mukavasti animoida pimennyksen kulun fundamentaalitasolla.

Kuva 5.13:

Varjon kulku fundamentaalitason ja maapallon yli oikeassa mittakaavassa 2027-08-02. Maapallon pyörimistä pimennyksen aikana on havainnollistettu projisoimalla maantieteelliset koordinaattiviivat fundamentaalitasolle. Huomaa kuitenkin, että jos varjot projisoitaisiin oikeasti kartalle, ne suurentuisivat vielä hieman verrattuna tässä esitettyihin tasolle laskettuihin kokoihin.

5.6 Elementit polynomeina

Yllä esitelty Besselin menetelmä elementeistä tasolla helpotti laskentaa huomattavasti. Vaikka laskenta sujuukin nopeasti tietokoneella, voi silti olla, että taivaankappaleiden efemeridien rouskuttaminen joka sekunnille on turhaa työtä. Käsin laskemisen (ja hitaiden tietokoneiden) aikakaudella on ollut tapana nopeuttaa laskentaa niin, että efemeridit lasketaan vain muutamassa pisteessä ja tuloksiin sovitetaan matala-asteinen polynomi.

Tämä menetelmä antaa tarkkoja tuloksia ja yksinkertaistaa laskentaa tänäkin päivänä. Esimerkiksi tämän sivun animaatiot lasketaan frontissa omassa selaimessasi, joten esilaskettujen, yksinkertaisten polynomien arvojen generointi on paljon kätevämpää kuin taivaankappaleiden efemeridien pureksiminen auki.

Aloitetaan katsomalla tarkemmin eri elementtien käyttäytymistä yksi tai kaksi kerrallaan. Ensin $x$ ja $y$ , jotka liikkuvat pimennyksen aikana tasaisen näköisesti tuhansia kilometrejä. Mutta kuinka tasaisesti? Sovitetaan laskettuihin pisteisiin suora ja katsotaan, paljonko tällainen lineaarinen approksimaatio jättää residuaaleja.

Kuva 5.14:

Vasemmalla elementit $x$ ja $y$ kymmenen minuutin välein, ja kummankin pisteistön läpi sovitettu suora. Oikealla elementtien residuaalit niiden läpi sovitettuun suoraan verrattuna.

Residuaalikuva kertoo, että elementtien arvot poikkeavat lineaarisesta arviosta pahimmillaan useita kilometrejä. Tämä ei ole tarpeeksi tarkka arvio. Katsotaan, paljonko residuaalit olisivat toisen ja kolmannen asteen polynomisovituksessa.

Kuva 5.15:

Toisen ja kolmannen asteen sovitusten jäännökset samoille pisteille.

Toisen asteen sovitus jättää edelleen useita satoja metrejä residuaaleja, mikä ei vieläkään ole tarpeeksi tarkka arvio, kun haluamme laskea täydellisen auringonpimennyksen tapahtumia sekunnilleen. Kolmannen asteen sovituksessa ero on enää senttimetrejä, mikä riittää meille. Astetta ei ole mitään järkeä kasvattaa tästä, itse efemerideistä tulee varmasti tätä suurempi virhe.

Seuraavaksi $μ$ ja $d$ . Deklinaatio $d$ muuttuu pimennyksen aikana hyvin vähän n. $17. 7^{\circ}$ tienoilla. Tuntikulma $μ$ muuttuu paljon enemmän, hyvin tasaisesti maapallon pyörimisen mukana, erittäin lähelle $1 5^{\circ}$ tunnissa. Sovittamalla kumpaankin ensimmäisen ja toisen asteen polynomin, nähdään, että ensimmäisellä asteella residuaalit ovat Maan pinnalla mitattuna metrien luokassa, toisella asteella senttimetreissä.

Kuva 5.16:

Ensimmäisen ja toisen asteen jäännökset elementeille $μ$ ja $d$ , ilmaistuna metreinä Maan pinnalla.

Muistetaan, että tuntikulma laskettiin $μ = GAST - a$ . Näistä kahdesta GAST kuvaa maapallon pyörimistä ja on erittäin tarkasti lineaarinen. Jäljelle jäävät residuaalit johtuvat varjon akselin suunnan ( $μ$ :n tapauksessa rektaskension) hitaasta muutoksesta.

Meeus (1989) käyttää elementeissään toista astetta deklinaatiolle ja ensimmäistä tuntikulmalle. Omiin tarkoituksiimme voimme aivan hyvin käyttää toista astetta molempiin. Kolmannen asteen lisääminen olisi enää pelkkää kohinaa.

Varjojen säteet $l_{1}$ ja $l_{2}$ käyttäytyvät mielenkiintoisesti. Varjot ovat keskenään hyvin erikokoiset, mutta niiden muutoksissa ei näy käytännössä lainkaan eroa. Ne muuttuvat pimennyksen aikana noin kilometrin verran ensin kasvaen ja sitten pienentyen.

Ensimmäisen asteen sovitus ei tätä korjaa, mutta toinen aste istuu senttimetrien tarkkuudella.

Kuva 5.17:

Ensimmäisen ja toisen asteen jäännökset varjojen säteille $l_{1}$ ja $l_{2}$ , metreinä. Pisteet ovat käytännössä identtiset, joten $l_{2}$ on piirretty risteinä.

Aiemmassa taulukossa kulmien $f_{1}$ ja $f_{2}$ tangentit eivät muutu ollenkaan taulukossa näkyvällä tarkkuudella. Vähentämällä kummastakin sarjasta niiden oma keskiarvo, saadaan kulmien muutos näkyviin. Muutoksessa näkyy lineaarista tai toisen asteen muotoa, mutta sen amplitudi on kaarisekunnin sadasosia. Nämä kulmat voi katsoa vakioiksi kaikissa järjellisissä käyttötarkoituksissa.

Kuva 5.18:

Kartioiden kulmien $f_{1}$ ja $f_{2}$ muutoksen suuruus kaarisekunteina. $f_{2}$ on piirretty risteinä, koska pisteet ovat käytännössä identtiset.

Nyt tiedämme, mitä astetta kullekin elementille tulee käyttää polynomisovituksessa. Tehdään vielä yksi oikotie, kuten vanhoina hyvinä aikoina. Yllä sovitimme polynomit tiheään pistejoukkoon 10 minuutin välein. Koska sovituksemme on korkeintaan kolmatta astetta, riittää karsia sovitukseen käytettävien pisteiden lukumäärä viiteen. Perinteinen tapa on katsoa pimennyksen maksimihetki, valita sitä lähin tasatuntiYleisemmin ajankohdaksi on valittu mainittu tasatunti maanpäällisessä ajassa (terrestrial time, TT). Tämä on käytännössä sama asia kuin UTC ilman karkaussekunteja. Kirjoitushetkeen mennessä näiden ero on kasvanut reiluun minuuttiin. Tästä ajanlaskun erikoisuudesta lisää myöhemmissä luvuissa. Lopputuloksen kannalta valitulla hetkellä ei ole väliä. Tietysti valittu ajankohta täytyy ilmoittaa elementtien julkaisun yhteydessä, jotta elementtejä voi käyttää. , ja laskea sovituspisteet tuntia ja kahta tuntia ennen ja jälkeen valitun tasatunnin.

Kuva 5.19:

Polynomisovitukseen valitut viisi tasatuntia. Esimerkkinä käytetty täysvarjon paikkaa $(x, y)$ fundamentaalitasossa.

Nyt voimme vihdoin esittää laskelmiemme tulokset polynomitaulukkona. Tässä itse lasketut Besselin elementit elokuun 2027 täydelliselle auringonpimennykselle, voimassa 2027-08-02 10:00 UTC $\pm 3 h$ .

elementti	$t^{3}$	$t^{2}$	$t$	vakio
$x$	−0.0000092	−0.0000446	0.5447104	−0.0093024
$y$	0.0000038	−0.0001217	−0.2111626	0.1560073
$d$	—	−0.0000039	−0.0101812	17.7622869
$μ$	—	0.0000020	15.0020965	−31.5777830
$l_{1}$	—	−0.0000128	0.0000136	0.5306203
$l_{2}$	—	−0.0000128	0.0000135	−0.0156866
$tan f_{1}$	—	—	—	0.0046065
$tan f_{2}$	—	—	—	0.0045835

Seuraavaksi tulemme näkemään, että tällainen satsi elementtien numeroita on käyttökelpoinen hyvin monenlaisia laskelmia varten ja toimii sellaisenaan valtavassa määrässä valmiitakin työkaluja.