Luku 2

Auringonpimennysten raja-arvot

Edellisessä luvussa selvitimme pienimmän geosentrisen kulmaetäisyyden Auringon ja Kuun välillä. Vaikka maapallon keskipisteessä ei asukaan ketään, voimme käyttää siellä laskettua kulmaetäisyyttä hyödyksi. Kuinka pieni tämän kulman täytyy olla, jotta jossain muualla maapallon pinnalla voisi tapahtua auringonpimennys?

Alkuperäiset laskut ja kuvat, ks. Explanatory Supplement luku 11.2.4. Erityisesti kuvia on yritetty tässä selkeyttää entisestään. Myös joitakin laskuja, joiden yli ES hyppää, on avattu paremmin.

Aloitetaan parallaksin käsitteellä.

Geosentrinen parallaksi ${\pi }^{\prime }$ on jonkin kohteen kulmaetäisyys sen toposentrisen suunnan ja geosentrisen suunnan välillä, jollekin maapallon pinnalla sijaitsevalle havaitsijalle $O$. Toisin sanoen paljonko kohteen suunta heittää, jos havaitsija ei olekaan Maan keskipisteessä. Kuvassa 2.1 näitä kahta suuntaa on kumpaakin verrattu havaitsijan $O$ zeniittiin $Z$. Parallaksi on samalla havaitsijan ja keskipisteen välinen kulma kohteesta katsottuna.

Ylemmän kolmion perusteella havaitsijan $O$ zeniittikulma $z^{\prime }$ voidaan muuttaa geosentriseksi

Horisontaalinen parallaksi $\pi$ on sama, mutta havaitsijalle, joka näkee kohteen horisontissa. Parallaksit liittyvät toisiinsa:

2.1 Osittainen pimennys

Kaikki auringonpimennykset ovat niitä havaitseville jossain vaiheessa osittaisia. Tässä yhteydessä osittainen tarkoittaa kuitenkin pimennystä, jossa maapallo kulkee Kuun ainoastaan puolivarjon läpi, mutta ei täysvarjon (eikä sen jatkeen) läpi. Tarkastellaan rajatapauksena tilannetta, jossa puolivarjo hipoo maapallon reunaa. Siis rajatapaus sille, onko pimennys osittainen vai onko pimennystä lainkaan.

Kuvaan 2.2 on merkitty toposentriset eli havaitsijan $O$ näkemät suureet, jotka on merkitty pilkulla: Auringon näennäinen säde (semidiameter) $s_s^{\prime }$, Kuun näennäinen säde $s_m^{\prime }$, ja Auringon ja Kuun zeniittikulmat $z_s^{\prime }$ ja $z_m^{\prime }$. Vastaavat geosentriset zeniittikulmat ovat $z_s$ ja $z_m$. Kuvan vaakasuora katkoviiva, puolivarjon reuna, on havaitsijan $O$ horisontti. Lisäksi on merkitty $\sigma$, Auringon ja Kuun geosentrinen kulmaetäisyys.

Toposentrisille kulmille:

eli Kuu näkyy juuri säteensä verran horisontin yllä, ja Aurinko säteensä verran horisontin alla. Reunat koskettavat toisiaan horisontissa.

Geosentrisille kulmille saadaan nyt

Auringon ja Kuun geosentriselle kulmaetäisyydelle saadaan vihdoin

Tämä oli raja-arvo, joten osittaisen pimennyksen tapahtumiselle jossain päin maapalloa, mitattuna keskipisteestä käsin, saadaan ehdoksi

2.2 Täydellinen ja rengasmainen pimennys

Täydellinen pimennys näkyy, kun havaitsija siirtyy puolivarjosta täysvarjon kartion sisään. Rengasmaisessa pimennyksessä havaitsija siirtyy täysvarjon jatkeeseen. Tällaisia pimennyksiä sanotaan sentraalisiksi tai keskeisiksi, jos kuun varjon akseli leikkaa maapallon pinnan.

Tarkastellaan samanlaisia rajatapauksia näille pimennyksille. Kuvista on nyt selvyyden vuoksi karsittu ylimääräisiä viivoja.

Kuvan 2.3 rengasmaisessa rajatapauksessa havaitsija on siirtymäisillään täysvarjon jatkeeseen. Auringon ja Kuun yläreunat ovat horisontissa, kummankin keskikohta näennäisen säteen $s^{\prime }$ verran horisontin alla.

Kuvan 2.4 täydellisessä rajatapauksessa havaitsija on siirtymässä täysvarjoon. Nyt Auringon ja Kuun alareunat ovat horisontissa, kummankin keskikohta näennäisen säteen $s^{\prime }$ verran horisontin yllä.

Siispä rengasmaisessa tapauksessa

ja täydellisessä

Riippumatta tapauksesta, kohteiden välinen kulmaetäisyys voidaan nyt kirjoittaa

Kun osittaisen pimennyksen laskut toistetaan näille tapauksille, itseisarvon ansiosta saadaan kummallekin sama raja:

Pimennys voidaan nyt luokitella geosentristen näennäisten kokojen mukaan: Jos $s_m>s_s$, pimennys on täydellinen; jos $s_m<s_s$, pimennys on rengasmainen.

Huomioidaan kuitenkin erikoistapaus. Jos $|s_s-s_m|\approx 0$ tai erityisesti jos $\sigma \approx 0$, pimennys voi olla hybridi (rengasmainen-täydellinen), joka alkaa ja loppuu reunoilla rengasmaisena, mutta muuttuu täydelliseksi keskellä maapalloa, kun havaitsija on lähempänä Kuuta.

Toisena erikoistapauksena joissain harvinaisissa tilanteissa jomman kumman navan lähellä oleva havaitsija saattaa nähdä täydellisen tai rengasmaisen pimennyksen, vaikka täysvarjon keskiakseli ohittaa maapallon täpärästi etelän tai pohjoisen puolelta. Tämä tapaus on ei-keskeinen tai ei-sentraalinen (noncentral) pimennys.

Kumpikin näistä erikoistapauksista vaatii tarkempia laskelmia löytyäkseen.

2.3 Käytännön esimerkki

Toistetaan edellisen luvun laskelmat vuoden 2027 uudenkuun hetkille näitä rajaehtoja tarkastellen.

from numpy import arctan, cos, degrees
from skyfield import almanac
from skyfield.api import load
from skyfield.framelib import ecliptic_frame

R_EARTH = 6378.1366           # km, IAU equatorial radius
R_SUN = 696000.0
R_MOON = 0.2725076 * R_EARTH  # Moon/Earth radius ratio, IAU

ts = load.timescale()
eph = load('de440s.bsp')
earth, sun, moon = eph['earth'], eph['sun'], eph['moon']

t0, t1 = ts.utc(2027, 1, 1), ts.utc(2028, 1, 1)
t, phase = almanac.find_discrete(t0, t1, almanac.moon_phases(eph))

def lonlat(body, ti):
    lat, lon, _ = earth.at(ti).observe(body).apparent().frame_latlon(ecliptic_frame)
    return lon.degrees, lat.degrees

def wrap(d):
    return (d + 180) % 360 - 180

for ti in t[phase == 0]:
    a, b = ts.tt_jd(ti.tt - 1 / 1440), ts.tt_jd(ti.tt + 1 / 1440)
    ml_a, mb_a = lonlat(moon, a)
    ml_b, mb_b = lonlat(moon, b)
    sl_a, _ = lonlat(sun, a)
    sl_b, _ = lonlat(sun, b)

    beta = lonlat(moon, ti)[1]
    lam = wrap(ml_b - ml_a) / wrap(sl_b - sl_a)
    tan_I = (mb_b - mb_a) / wrap(ml_b - ml_a)
    I_ = arctan(lam / (lam - 1) * tan_I)
    sigma = abs(beta) * cos(I_)

    e = earth.at(ti)
    d_sun = e.observe(sun).apparent().distance().km
    d_moon = e.observe(moon).apparent().distance().km

    s_s = degrees(R_SUN / d_sun)
    s_m = degrees(R_MOON / d_moon)
    pi_m = degrees(R_EARTH / d_moon)
    pi_s = degrees(R_EARTH / d_sun)

    partial = s_s + s_m + pi_m - pi_s
    central = abs(s_s - s_m + pi_m - pi_s)

    if sigma > partial:
        verdict = '-'
    elif sigma > central:
        verdict = 'partial'
    else:                                       # the two discs decide the type
        verdict = 'total' if s_m > s_s else 'annular'

    print(f"{ti.utc_strftime('%Y-%m-%d %H:%M')}  {sigma:6.3f}"
          f"  {partial:6.3f}  {central:6.3f}  {verdict}")

Toistetaan lasku vielä vuodelle 2029 osittaisten pimennysten löytämiseksi.

Neljä osittaista pimennystä, ei yhtään sentraalista… Hyvä tilaisuus järjestää Solar Eclipse Conference!